Colliding Coupled Harmonic Oscillators: Ideal vs. Real

Omer Granek

Abstract


In various physical systems, harmonic oscillators mutually interact continuously and collide peri­odically in the same dimension. Previous authors have described such scenario of colliding coupled harmonic oscillators, though a simplistic version has yet to be considered. I obtain this version here by developing a general model for a "New­ton's Cradle" made of spherical pendulum-oscil­lators colliding in one dimension with Hertzian behavior, with Hookean springs coupling them to­gether in the same dimension. The model consid­ers damped and undamped apparatuses. I then propose an idealized theory (one that adheres to textbook characteristics of a cradle) for the two-oscillator case, and compare the two numerically to conclude whether it is possible to use an ideal­ized description while maintaining high accuracy in prediction. The theory depicts the ideal system as piecewise, as the new oscillations are com­bined from the original coupled harmonic oscilla­tions. It is based upon an introduction of complex dimensionless factors to the original solutions of the collision less system and a linear combination between the real parts of the resultant products. I found that the idealized theory is roughly accu­rate with respect to the general model up till seven collisions, after which it supplies unreliable predic­tions.

Dans divers systèmes physiques, des oscillateurs harmoniques réagissent réciproquement et con­tinuellement, se heurtant périodiquement dans la même dimension. Des auteurs antécédents avaient décrit un tel scénario d’un raccordement des oscil­lateurs harmoniques qui se heurtent, cependant une version plus simple n’avait pas encore été étudiée. J’obtiens cette version-ci en développant un modèle général d’un « berceau de Newton » fait des pendules-oscillateurs sphériques se heurtant dans une dimension avec un comportement hertz, muni des ressorts « Hooke » qui les raccorde dans la même dimension. Ce modèle considère des ap­pareils bouchés tout comme des appareils non-bouchés. Puis, je propose une théorie idéalisée (celle qui correspond aux critères traditionnels d’un berceau) pour le coffre duo-oscillateur. Je compare numériquement un avec l’autre afin de déterminer si c’est possible de se servir d’une description idé­alisée tout en conservant une prédiction de préci­sion. La théorie représente un système idéal fait des pièces, puisque les nouvelles oscillations sont faites de celles de l’original puis jointes avec des oscillations harmoniques. Ce système est envisa­gé sur l’introduction des facteurs complexes sans dimension à des solutions déjà existantes d’un sys­tème qui ne se heurte pas, puis lié à une combinai­son linéaire entre des parties réelles des produits résultants. J’ai trouvé que la théorie idéalisée est à peu près précise en ce qui concerne le modèle gé­néral jusqu’aux sept collisions, puis les prédictions deviennent de moins en moins exactes.


Keywords


Oscillation; Coupling; Collision; Elastic; Newton's Cradle

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DOI: https://doi.org/10.13034/cysj-2014-005

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